装满的谷仓压力有多大？静摩擦力与杨森效应

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总重一万吨的玉米，洒落在美国俄亥俄洲的 571号公路。没有人伤亡，不过被压断的电缆造成该地区断电断网，571号公路也被关闭了好几天。这个意外发生在 2018 年一月，起因是一个倒塌的筒仓。

在美国和欧陆等温带地区，常见圆形的筒仓可以用来储存各种谷物。在玉米与小麦的进出口业发达的国家，筒仓内的谷物吨数动辄上万，一旦坍塌，造成的破坏十分可观。（没错就是会造成道路封闭、断电断网的等级）因此，负责设计的工程师必须清楚知道，筒仓的侧壁与底部能够扛住多少压力。

许多地区常见使用筒仓储存玉米小麦等谷物。图/piqsels

当谷仓装满，底部的压力却……

为此，德国的工程师杨森（H.A. Janssen） 特别设计了一个底部可活动的筒仓，并将底部连结至天平与砝码（图1）。

图1 当年杨森的筒仓设计图

利用如此简单暴力的实验装置，杨森得到了出乎意料的结果：随着他在筒仓中慢慢放入更多的谷物，底部的压力成长却逐渐趋缓，到最后几乎变成平线（图2）。当他放入的谷物总重来到 180 公斤，筒仓底部却只承担了 23 公斤的压力！

图 2 放入谷物重量对底部压力的关系图。随着重量增加，底部压力却逐渐饱和，不再成长。

消失的重量究竟去了哪里呢？我们预期底部压力等于内容物重量，其实是因为，我们直觉地把细小的谷物当作滑顺的流体。如果筒仓里装的是水，那么底部压力当然会等于水的重量。

不过像是谷物或沙子这类的细小颗粒，尽管集体行为与液体很类似，个别颗粒之间却有着可观的摩擦力。像是沙漏中落下的沙子，会在下方堆成一个小沙丘，而不是像液体一样形成水平面，就是因为其受制于颗粒间的摩擦力，无法像水分子一样自由流动。

摩擦力如何影响底部压力？

如果要想像谷仓中的摩擦力如何作用有点困难，我们可以先想像一个极端的例子：两颗体积跟摩擦力都很大的瑜珈球（图3）。在画面中原本就已经有一个蓝球，而当靠近边缘的瑜珈球（白球）落下，会被「嵌入」墙壁与蓝球的间隔。

从白球的角度来看，白球会有两个摩擦力的来源：与蓝球接触面的摩擦力与与墙壁的摩擦力。静摩擦力的方向会「抵抗」移动的趋势，所以当白球向下挤，墙壁与球之间便留下了一个向上的静摩擦力。这股向上的力量分担了白球的重量，于是筒子底部承担的重量就少了一些。

图 3 一个筒仓内原本装了一颗蓝色瑜珈球。后来放入的白球嵌入空隙中，受到两个向上摩擦力（红色的箭头）。要注意球与球之间的摩擦力只会将重量转嫁给蓝球，只有墙壁提供的摩擦力有助于减少底部所受的总压力。

同样的，当我们在筒仓中添加谷物，仓壁内侧的摩擦力会撑起一部分的重量。随着筒仓内谷物越来越多，接触到的仓壁面积增加，摩擦力能分担的重量也越多。因此当筒仓内的谷物多到一个程度，新加入的谷物重量几乎不会对底部造成负担。

因此杨森的实验中，最后才会达到饱和，底部压力几乎不再增加。这个现象后来被称为「杨森效应（Janssen Effect））」

从谷物到雪崩，「颗粒物理」防守范围超广

我们刚刚看到的斑驳的设计图和天秤的使用透漏了它的年纪，杨森的这份研究其实发表于两世纪前的 1895 年。

虽然年代感有点重，不过这篇研究可是越陈越香，在 1977 年之前，它只被引用了 40 次。在最近三十年间，却突然暴增了两百多次引用。用简单的实验和理论，杨森开启了新的领域，也就是近年蓬勃发展的颗粒物理。颗粒物理的防守范围不只包含谷物和粉末等工业应用，也能分析沙丘与雪崩这类的地质现象。

就在今年三月，一份新的研究发表在物理评论快报 （Physical Review Letters）。该篇研究的作者发现在某些情况下，筒仓底部的重量竟然会大于内容物重量，被称为「反杨森效应」！

新的实验使用较大的颗粒，比起筒仓中的谷物，比较像是儿童球池。先前有提到，新加入的球会带来向上的摩擦力；不过有另一种情况，会造成向下的摩擦力，导致底部的压力不减反增（图4）。在图4 中，白色球落下时，将蓝色球向外挤，间接将最左侧的黄色球沿着墙壁向上推，造成向下的摩擦力。

图 4 反杨森效应示意图。

你可能有想到：这时候白色的球不是会受到向上的摩擦力吗？的确如此。而底部受到的总压力，便是数百颗球互相磨来磨去的效应总和。这时便庆幸我们手上有杨森所没有的工具：电脑模拟。

图 5 电脑模拟结果。有接触墙壁的球依据所受磨擦力方向上色；向上为红色，向下为蓝色。　(M. P. Ciamarra/Nanyang Technological Univ.)

利用电脑模拟筒仓中填入圆球的情况可以发现，当填充到特定深度时，被墙壁向下压的球（蓝色）明显多于被墙壁撑住的球（红色）。这时筒仓底部便会承受大于预期的压力，造成崩塌的风险。

不过这个现象一般只会出现在颗粒较大的系统。也就是说，如果你家附近有装满谷物的筒仓，应该不需要太担心；不过如果里面装的是西瓜，那就不好说了。